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二元一次方程与一次函数教案（通用18篇）
作为一名教职工，常常要写一份优秀的教案，通过教案准备可以更好地根据具体情况对教学进程做适当的必要的调整。那要怎么写好教案呢？下面是小编为大家收集的二元一次方程与一次函数教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
二元一次方程与一次函数教案 1
教学目标：
1、使学生理解并掌握二元一次方程的概念及其解法。
2、帮助学生认识到二元一次方程与一次函数之间的内在联系。
3、培养学生运用二元一次方程和一次函数解决实际问题的能力。
4、提升学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
教学重难点：
重点：二元一次方程的解法及与一次函数的转换。
难点：理解二元一次方程解集与一次函数图像之间的关系。
教学准备：
教具：黑板、白板笔、多媒体设备、教学PPT。
学具：笔记本、笔、计算器（可选）。
教学过程：
一、导入新课
情境引入：通过生活实例（如购物问题、行程问题等）设置情境，引导学生思考如何建立数学模型描述这些实际问题。
提出问题：根据情境，引导学生提出可以用二元一次方程解决的问题，并尝试用自然语言描述问题中的关系。
二、新知讲解
概念讲解：
定义二元一次方程：介绍二元一次方程的基本形式ax + by = c（a，b，c为常数，a，b不同时为零）。
讲解二元一次方程的解法：重点介绍代入法和消元法，并通过例题示范。
一次函数回顾：
回顾一次函数y = mx + b的定义和性质。
建立联系：
引导学生发现，给定一个二元一次方程，可以通过令y = ax + b（其中b需通过方程变形得到）的方式，将其转化为一次函数的形式，反之亦然。
讨论二元一次方程的解集与一次函数图像（直线）上的点之间的关系。
三、实践探究
例题解析：
通过几道典型例题，展示如何将实际问题转化为二元一次方程，并通过解方程找到答案。
强调解方程过程中如何有效利用一次函数的图像辅助理解和求解。
小组活动：
分组让学生自行设计或选择包含二元一次方程的实际问题，尝试建立方程并求解，最后分享讨论。
四、拓展延伸
应用讨论：
讨论二元一次方程和一次函数在其他学科或现实生活中的应用实例，如经济学、物理学等。
数学文化：
简要介绍二元一次方程和一次函数的历史背景，增加学生的.数学文化素养。
五、总结反馈
课堂总结：
回顾本节课的主要内容，强调二元一次方程与一次函数之间的紧密联系。
学生反馈：
鼓励学生提出疑问，进行解答；收集学生对本节课的反馈，以便后续教学调整。
六、作业布置
完成课后习题，包括几道将实际问题转化为二元一次方程并求解的题目。
探究题：寻找一个日常生活中的问题，尝试建立二元一次方程模型并求解，撰写简短报告。
教学反思：
课后，教师应反思教学过程中的亮点与不足，特别是学生对二元一次方程与一次函数关联的理解程度，以及教学活动的效果，为后续教学提供改进方向。
二元一次方程与一次函数教案 2
学习目标：
1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系
2、能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似值
3、能解二元一次方程组的方法求两条直线的交点坐标
学习重点：
1、用作图像法求二元一次方程组的近似值
2、用解二元一次方程组的方法求两条直线的交点坐标
学习难点：
1、做图像时要标准、精确，近似值才接近
2、解二元一次方程组时计算准确，方法适宜
学习方法：
先自学课本，用心思考自主学习部分，努力独立完成，再与其他同学讨论未明白的内容。课上展示，针对自己不明白问题多听多问。
教学过程
自主学习部分：
问题1、（1）方程x+y=5的解有多少组？写出其中的几组解。
（2）在直角坐标系中分别描出以上这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5—x的图像上吗？
（3）在一次函数y=5—x的图像上任取一点，它们的坐标适合方程x+y=5吗？
（4）以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=5—x的图像相同吗？
（5）由以上的探究过程，你发现了什么？
问题2、（1）在同一个直角坐标系内分别作出一次函数y=5—x和y=2x—1的.图像，这两个图像有交点吗？如果有，写出交点坐标？
（2）一次函数y=5—x和y=2x—1的交点坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？
（3）由以上探究过程，我们发现解二元一次方程组的方法除了加减消元法和代入消元法，还可以用法解方程组；我们还发现可以利用解二元一次方程组的方法求两条直线交点的坐标。
合作探究：
（1）用做图像的方法解方程组
（2）用解方程的方法求直线y=4—2x与直线y=2x—12交点
二元一次方程与一次函数教案 3
一、学情分析：
学生能够正确解方程（组），掌握了一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验.
二、 学习目标：
本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力.因此确定本节课的教学目标为：
1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；
3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学模型间的联系.
教学重点
二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；
教学难点
通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识.
四、教法学法
1.教法学法
启发引导与自主探索相结合.
2.课前准备
教具：多媒体课件、三角板.
学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸.
五、教学过程
第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系
1. 某水箱有5吨水，若用水管向外排水，每小时排水1吨，则X小时后还剩余Y吨水.
（1） 请找出自变量和因变量
（2） 你能列出X，Y的关系式吗?
（3） X，Y的取值范围是什么?
（4） 在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）.
2.（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？
（2）.在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？
（3）.在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
（4）.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？
x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.
目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.
前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的'两个一次函数的关系.顺其自然进入下一环节.
第二环节 自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系
探究方程与函数的相互转化
1.两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元
一次方程组的解
（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？
（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？
?x?y?5（3）.解方程组?验证一下你的发现。 2x?y?1?
练习：随堂练习1 。巩固由一次函数的交点坐标找相应的二元一次方程组的解。
2.二元一次方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标。
?x?y?2（1）解?
?2x?y?5（2）以方程x+y=2
（3）以方程2x+y=5（4）方程组的解为坐标的点在图象上是哪个点？
（5目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程组的解）与“形”（两条直线）两种模型之间的对应关系，
由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力.
练习：知识技能1。巩固由方程组的解求相应的一次函数的交点坐标。更深入的体会二元一次方程组的解与一次函数交点坐标之间的对应关系。
第三环节模型应用
1.某公司要印制产品宣传材料.
1500元制版费. 甲印刷厂:每份材料收1元印制费， 另收 乙印刷厂:每份材料收2.5元印制费， 不收制版费.若公司要印制x份宣传材料，y甲表示甲印刷厂的费用，y乙表示乙
印刷厂的费用。
（1） 请分别表示出两个印刷厂费用与X的关系式。
（2） 在同一直角坐标系中画出函数的图象。
（3） 如何根据印刷材料的份数选择印刷厂比较合算？
第四环节 模型特例
想一想
内容：在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材
?x?y??1124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组?解的情况如何？你发现了什x?y?2?
么？
二元一次方程的解和相应的两条直线的关系２.
（1）观察发现直线平行无交点；
（2）小组研究计算发现方程组无解；
（3）从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；
（4）归纳小结：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。
目的：进一步揭示“数”与“形”转化关系.通过想一想，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对第二环节的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯.
进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化.进一步挖掘出两直线平行与k的关系。
效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性.
第五环节 课堂小结
内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：
1.二元一次方程和一次函数的图像的关系；
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；
一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
2.方程组和对应的两条直线的关系：
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；
两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
第六环节 作业布置
习题5.7
二元一次方程与一次函数教案 4
教学目标：
1、理解二元一次方程的概念，掌握其一般形式。
2、掌握二元一次方程组的解法，特别是代入法和消元法。
3、理解二元一次方程与一次函数之间的关系，能够将二元一次方程转化为一次函数图像进行求解。
4、培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以及运用数学知识解决实际问题的能力。
教学重点：
二元一次方程组的解法。
二元一次方程与一次函数的关系。
教学难点：
如何将二元一次方程转化为一次函数图像进行求解。
灵活运用不同方法解决二元一次方程组。
教学过程：
一、导入新课
通过复习一元一次方程和一次函数的概念，引出二元一次方程和二元一次方程组的概念。提问学生：如果一个问题涉及到两个未知数，并且这两个未知数的次数都是1，那么我们应该如何表示和求解这个问题呢？
二、讲授新课
1、二元一次方程的概念
定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
一般形式：ax + by = c（其中a、b、c为常数，且a、b不同时为零）。
2、二元一次方程组的解法
介绍两种常用的解法：代入法和消元法。
通过例题演示这两种解法的具体步骤和注意事项。
3、二元一次方程与一次函数的关系
讲解如何将二元一次方程转化为一次函数图像进行求解。
举例说明：给定二元一次方程x + 2y = 6，可以将其转化为一次函数y = — + 3，并在坐标系中画出该函数的图像，从而找到方程的解。
三、巩固练习
1、给出几个二元一次方程，让学生判断其是否为二元一次方程。
2、给出几个二元一次方程组，让学生选择适当的解法进行求解。
3、给出一些实际问题，让学生将其转化为二元一次方程或二元一次方程组进行求解。
四、课堂小结
1、 总结二元一次方程和二元一次方程组的概念、解法以及它们与一次函数的关系。
2、强调在解决实际问题时，要灵活运用所学知识，选择适当的'方法进行求解。
五、布置作业
1、完成课后习题中关于二元一次方程和二元一次方程组的题目。
2、预习下一节内容：三元一次方程组的解法。
教学反思：
在教学过程中，要注重培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。通过例题和练习，让学生逐步掌握二元一次方程组的解法以及它们与一次函数的关系。同时，要关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能跟上教学进度。
二元一次方程与一次函数教案 5
教学目标
1、知识与能力目标
（1）二元一次方程和一次函数的关系。
（2）二元一次方程组的图象解法。
（3）通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。
2、情感态度价值观目标
通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。
教材分析
前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，并为今后解析几何的学习奠定基础。
教学重点
1、二元一次方程和一次函数的关系。
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
教学难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
教学方法
学生操作——————自主探索的方法
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”————二元一次方程组和“形”————函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。
教学过程
一、故事引入
迪卡儿的故事——————蜘蛛给予的启示
十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数（形）的关系。
二、尝试探疑
1、Y=x+1
你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？
学生先是疑惑：方程就是方程，函数就是函数，它们能有什么联系呢？然后通过思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。
2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x—y=—1？
以方程x—y=—1的解为坐标的点在不在函数y=x+1的图象上？方程x—y=—1与函数y=x+1有何关系？
学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数y=x+1图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程x—y=—1。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流，问一问同伴函数y=x+1图象上的点满足不满足方程x—y=—1。结果也都满足。这样他们就会搭成共识：函数y=x+1上的任意一点的坐标都满足方程x—y=—1。
然后学生会用同样的方法得出另一个结论：以方程x—y=—1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上。然后开始思索函数y=x+1和方程x—y=—1到底有何关系呢？通过交流自动得出结论：以方程x—y=—1的解为坐标的点组成的.图象与一次函数y=x+1的图象相同。
3。在同一坐标系下，化出y=x+1与y=4x—2的图象，他们的交点坐标是什么？
方程组y=x+1的解是什么？二者有何关系？
y=4x—2
学生根据画图象的方法画出两函数图象，画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊：两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢？然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论：函数y=x+1和y=4x—2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组
y=x+1的解。
Y=4x—2
教师作最后总结：因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。
三、方程与函数关系的应用
解方程组x—2y=—2
2x—y=2
学生会很快的用消元法解出来。
老师发问：谁还有其他的方法？如果有，鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法，老师提出问题：你能不能用图象的方法求方程组的解呢？这时，学生就会去探索新的思路、方法。
一回忆方程与函数的关系，有了！方程组的解不就是两个方程变形得到的两个函数图象的交点坐标吗？学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后，互相交流。学生总结一下做题步骤：
1、把两个方程都化成函数表达式的形式。
2、画出两个函数的图象。
3、画出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。
问题又出来了，有的同学的解是x=2有的同学的解是x= y=
y=有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近，但各不相同。
老师提问：你能说一下用图象法解方程组的不足吗？
学生争先恐后的回答：用这种方法求的解是近似值。不准确。学生提出疑问：既然不准确，那学习它有什么用呢？用消元法就足够了！
教师解释一下：在现实生活和生产中，我们会遇到特别复杂的方程，用消元法解不太容易，我们就可以用电脑绘制成函数图象，很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。
[点评]用作图象的方法解方程组，这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识，探索知识点之间的联系，可起到化新为旧的作用，达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。
四、引申
方程组x+y=2
x+y=5解的情况如何？你能从函数的角度解释一下吗？
学生用消元法开始解方程组，结果无解，怎么回事呢？学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了！图象是平行的，没有交点。所以方程组无解了。哇！太神奇了！方程的问题可以用图象的方法解决了。
[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组，在这里，学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题，初步具有了数形结合的意识和能力。
五、课后小结
本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”————二元一次方程与“形”——————函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力。
六、作业
1、用作图象法解方程组2x+y=4
2x—3y=12
2、如图，直线L、L相交于点A，试求出A点坐标。
二元一次方程与一次函数教案 6
教学目标：
1、知识与技能：
学生能够理解二元一次方程的概念，并能识别其标准形式。
学生能够掌握将二元一次方程转化为一次函数的方法。
学生能够利用一次函数的图像解决二元一次方程组的解的问题。
2、过程与方法：
通过实例分析，引导学生观察、思考，发现二元一次方程与一次函数的关系。
采用小组讨论的形式，促进学生间的交流与合作，共同探索解决问题的方法。
利用多媒体教学手段，直观展示一次函数的图像，帮助学生理解方程的解。
3、情感态度与价值观：
激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的观察力和逻辑思维能力。
培养学生团队合作的精神，以及解决问题的耐心和细心。
增强学生的数学应用意识，认识到数学与生活的紧密联系。
教学重点与难点：
重点：二元一次方程与一次函数的相互转化，以及利用一次函数图像求解二元一次方程组。
难点：理解二元一次方程组的解在一次函数图像上的几何意义。
教学过程：
1、导入新课：
提出问题：小明和小华共有100元钱，小明比小华多20元，问小明和小华各有多少元？
学生尝试用一元一次方程求解，发现无法直接解决，从而引出二元一次方程的概念。
2、新知讲授：
定义二元一次方程：介绍二元一次方程的`标准形式，并给出几个实例让学生识别。
二元一次方程与一次函数的关系：通过实例演示，将二元一次方程的一个变量视为常数，从而转化为一次函数的形式。
利用图像求解：利用多媒体展示一次函数的图像，讲解如何通过图像找到二元一次方程组的解。
3、巩固练习：
学生分组，每组选取一个二元一次方程组，尝试将其转化为一次函数，并绘制图像求解。
小组间交流讨论，分享求解过程及结果，教师巡回指导，及时纠正错误。
4、拓展延伸：
提出问题：如果小明和小华的钱数关系发生变化，如何调整二元一次方程？
学生思考并尝试修改方程，再次求解，加深对二元一次方程与一次函数关系的理解。
5、课堂小结：
回顾本节课学习的内容，强调二元一次方程与一次函数的关系，以及利用图像求解的方法。
鼓励学生分享本节课的收获和疑问，教师进行总结和解答。
6、布置作业：
编写几道与本节课内容相关的练习题，要求学生独立完成，巩固所学知识。
预习下一节课的内容，了解三元一次方程的概念及求解方法。
教学评价：
通过课堂观察，评估学生对二元一次方程与一次函数关系的理解程度。
通过小组讨论和练习题的完成情况，评估学生的合作能力和解决问题的能力。
通过课后作业的完成情况，评估学生对本节课知识的掌握程度及预习习惯。
二元一次方程与一次函数教案 7
一、教材分析
1、教材的地位和作用
函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2、教学重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。
难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。
3、教学目标
知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
二、教法说明
对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、教学过程
（一）感知身边数学
学生已经学习过列方程（组）解应用题，因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？”，从而揭示课题。
[设计意图]建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。
教学引入
师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：
场景一：正方形折叠演示
师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。
[学生活动：各自测量。]
鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。
讲授新课
找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。
动画演示：
场景二：正方形的性质
师：这些性质里那些是矩形的性质？
[学生活动：寻找矩形性质。]
动画演示：
场景三：矩形的性质
师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。
[学生活动;寻找菱形性质。]
动画演示：
场景四：菱形的性质
师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。
及时提出问题，引导学生进行思考。
师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？
[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]
师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的`定义。
学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：
“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”
“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”
[学生活动：讨论这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教材中采用的是第三种定义方式。]
师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。
（二）享受探究乐趣
1、探究一次函数与二元一次方程的关系
[设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。
2、探究一次函数与二元一次方程组的关系
[设计意图]学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。
（三）乘坐智慧快车
例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算？
[设计意图]为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，并用问题：“你家选择的上网收费方式好吗？”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。
（四）体验成功喜悦
1、抢答题
2、旅游问题
[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。
（五）分享你我收获
在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？
[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。
（六）开拓崭新天地
1、数学日记
2、布置作业
[设计意图]新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。
四、教学设计反思
1、贯穿一个原则——以学生为主体的原则
2、突出一个思想——数形结合的思想
3、体现一个价值——数学建模的价值
4、渗透一个意识——应用数学的意识
二元一次方程与一次函数教案 8
一、教材分析
（一）教材的地位和作用
函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美，学生在探索过程中体验到的数形结合以及数学建模思想，既是对前面所学知识的升华，同时也对今后学习高中的解析几何有着十分重要的意义。
（二）教学目标
新一轮的课程改革，旨在促进学生全面、持续、和谐的发展，我认为本节课的教学应达到以下目标：知识技能方面：理解一次函数与二元一次方程组的关系，会用图象法解二元一次方程组；
数学思考方面：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去思考问题；
解决问题方面：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题；
情感态度方面：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信。
（三）教学重、难点
从以上目标可以看出，学生既要通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究，习得知识、培养能力，又要用此关系解决相关实际问题，因此，本节课的教学重点应是一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。考虑到八年级学生的数学应用意识不强，本节课的难点应是综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决相关实际问题。而关键则是通过问题情境的设计，激发学生的求知欲，引导学生探索、交流，引导学生发现、分析、解决问题。
二、教法分析
《数学课程标准》明确指出“数学教学是数学活动的教学”，“学生是数学学习的主人”。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生自由探索、合作交流与实践创新。对于认知主体来说，八年级学生乐于探索，富于幻想，但他们的数学推理能力以及对知识的主动迁移能力较弱，为帮助学生更好地构建新的认知结构，促进学生的主动发展，本节课我采用情境—探究式教学法，以“情境――问题――探究――交流――应用――反思――提高”的模式展开，以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快学习。
三、过程分析
本着重实际、重探究、重过程、重交流的教学宗旨，我将本节课的教学设计成以下六个环节：情景导入——探究合作——解决问题——巩固提高——归纳小结——布置作业。
这节课，我首先用贴近学生实际、学生感兴趣的问题——上网交费问题引导学生进入本节课的学习，充分调动学生的积极性。课件展示学生回答的用列方程组解答的过程，并提出问题：“同学们在解这个二元一次方程组时，基本上都是用的代入法或加减法，那么解二元一次方程组还有其它的方法吗？”学生讨论后可能会感到束手无策，感到原有的知识不够用了。一石激起千层浪，问题提出来后，如何解决呢？此时，作为教师，应把握好组织者、引导者和合作者的身份，不要急于发表自己的意见，而应启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的态势，从而唤起学生强烈的学习热情，使他们主动积极地投入到探索活动中来。另外，此问题的设置也为后面例题的讲解作好铺垫，有利于教学难点的突破。
为使学生更好地掌握本节课的重点知识，我遵循从特殊到一般，再从一般到特殊的认知规律，设计了以下问题“你们能否将方程
转化为一次函数的形式呢？”“如果能，你们能在平面直角坐标系中能画出它的图象吗？”在学生将方程转化为一次函数的形式并画出图象后，我引导学生观察直线上的几个点，发现它们的坐标都是方程
的解，紧接着问“直线上任意一点的坐标一定是方程的解吗？”“是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式呢？”“是否所有直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解呢？”学生先独立思考，然后小组讨论，不难发现：每个二元一次方程都对应一个一次函数，于是也就对应一条直线。一连串的问题由浅入深，环环相扣，引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。
紧接着问学生：“你能用刚才的方法研究另一个方程2x—y=1吗？”学生在同一坐标系中画出一次函数y=2x—1的'图象后，发现两条直线有一个交点，我又问“这个交点坐标与这两条直线所对应的方程的解有什么关系？与这两个方程组成的方程组的解又有什么关系？”此时，学生慢慢体会到：既然每个二元一次方程都对应一条直线，二元一次方程的每一个解又对应直线上的每一个点，那么两个二元一次方程的公共解就对应着两条直线的公共点，也就是说，二元一次方程组的解不就是对应着两条直线的交点吗？这个时期，教师应留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予及时帮助，师生共同归纳出：用画图象的方法可以解二元一次方程组，从而解决了本节课开头所提出的问题。然后共同归纳：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。这告诉我们，既可用画图象的方法可以解二元一次方程组，也可用解方程组的方法求两条直线交点的坐标。利用刚才已有的探究经验，学生很容易想到此问题的探究还可以从数的角度看，进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，这个函数值是何值。
这样，学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，并使学习过程成为一种再创造的过程。学生从一个个小问题的回答，到最后的归纳，充分享受学习、探究带来的快乐，此时教师应充分肯定学生的探究成果，及时对学生进行鼓励，关注学生的情感体验。
为满足学生学以致用、争强好胜的心理需求，我特意设计了两个抢答题，既加强了对所学知识的消化理解，又调动了学生的积极性，更让他们在抢答中品味到了成功的快乐。趁着学生高涨的情绪，我迅速引入开头部分意犹未尽的上网收费问题，加以变式，再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。经过一番探索，学生可能想到：要选择合理的收费方式就需要对它们所收费用的大小进行比较，因此一定会有学生用过去的知识——方程或不等式解决问题，对于这部分学生的想法要给予充分的肯定表扬，然后继续提问“你能用今天所学的图象法来解决这个问题吗？”引导学生建立函数模型进行探索。
学生在同一坐标系中分别画出两个一次函数的图象后，我引导学生观察图象的特征，学生讨论后发现当0 ≤ x 400时，红色点在蓝色点的下方，这样利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，从而找到答案。为避免图象法作图误差造成的不足，可引导学生通过代数计算求出交点坐标。为培养学生一题多解的能力，我启发学生用作差法，类似地用点位置的高低直观地找到y>0，y=0及y<0时所对应的x的范围，进而得到答案。通过对实际问题的探究，学生可以发现图象法的直观性，体会数形结合这一思想方法的应用，并学会用函数的观点，动态地分析不等式和方程（组）。
为了巩固学生的学习成果，我把刚刚结束不久的铁山矿冶文化旅游节带进课堂，让学生欣赏一组美丽的黄石矿冶文化景点图片，在学生体验家乡美好的轻松愉快氛围中，我再一次出示了一个与之有关的旅游购票问题，并鼓励学生用不同的方法进行解答，进一步培养学生应用数学的意识，从而更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。
在课堂临近尾声时，引导学生对本节课所学进行小结，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。尝试开放式课堂教学，以真正体现学生的主体地位，使课堂活动民主化，多样化。
本节课的作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让不同的学生在数学上得到不同的发展。
四、设计说明
这节课，我始终贯穿以学生为主体的原则，突出数形结合的思想，体现数学建模的价值，渗透应用数学的意识，关注学生个性的发展，让每一个学生在课堂上都有所感悟，都有着各自的数学体验，不同的学生在数学的各个不同方面上都得到不同的发展。
二元一次方程与一次函数教案 9
【教学目标】
【知识目标】
了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
【能力目标】
通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
【情感目标】
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
【重点】
二元一次方程组的含义
【难点】
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
【教学过程】
一、引入、实物投影
1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)
师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？ （含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）
师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次
练习（投影）
下列方程有哪些是二元一次方程
+2y=1 xy+x=1 3x-=5 x2-2=3x
xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0
二、议一议、
师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？
师：由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
x-y=2
x+1=2(y-1)
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
如： 2x+3y=3 5x+3y=8
x-3y=0 x+y=8
三、做一做、
1、 x=6，y=2适合方程x+y=8吗？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你还能找到其他x，y值适合x+y=8方程吗？
2、 X=5，y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2，y=8呢？
你能找到一组值x，y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？
x=6，y=2是方程x+y=8的一个解，记作 x=6 同样， x=5
y=2 y=3
也是方程x+y=8的一个解，同时 x=5 又是方程5x+3y=34的一个解，
y=3
四、随堂练习（P103）
五、小结：
1、 含有两未知数，并且含有未知数的项的`次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。
2、 二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。
3、 含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值。
六、教后感：
七、自备部分
二元一次方程与一次函数教案 10
【教学目标】
【知识目标】了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
【能力目标】通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。
【情感目标】通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。
【重点】
二元一次方程组的含义
【难点】
判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。
【教学过程】
一、引入、实物投影
1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：累死我了，小马说：你还累，这么大的个，才比我多驮2个老牛气不过地说：哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍!，小马天真而不信地说：真的?!同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢?
2、请每个学习小组讨论(讨论2分钟，然后发言)
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍， 得方程：x+1=2(y-1)
师：同学们能用方程的.方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数?含未知数的项的次数是多少? (含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1)
师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程
注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含的次数是一次
练习：(投影)
下列方程有哪些是+2y=1 xy+x=1 3x-=5 x2-2=3x
xy=1 2x(y+1)=c 2x-y=1 x+y=0
二、议一议、
师：上面的方程中x-y=2的x含义相同吗?
师：
x-y=2
x+1=2(y-1)
2x+3y=3 5x+3y=8
x-3y=0 x+y=8
1、 x=6，y=22、 X=5，y=3 x=6 x=5
y=2 y=3
x=5 y=3
1、 2、 3、
二元一次方程与一次函数教案 11
教学目标
1.使学生会用代入消元法解二元一次方程组；
2.理解代入消元法的基本思想体现的“化未知为已知”，“变陌生为熟悉”的化归思想方法；
3.在本节课的教学过程中，逐步渗透朴素的辩证唯物主义思想.
教学重点和难点
重点：用代入法解二元一次方程组.
难点：代入消元法的基本思想.
课堂教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.谁能造一个二元一次方程组？为什么你造的方程组是二元一次方程组？
2.谁能知道上述方程组(指学生提出的方程组)的解是什么？什么叫二元一次方程组的解？
3.上节课我们提出了鸡兔同笼问题：(投影)一个农民有若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140只脚，问鸡和兔子各有多少？设农民有x只鸡，y只兔，则得到二元一次方程组
对于列出的这个二元一次方程组，我们如何求出它的解呢？(学生思考)教师引导并提出问题：若设有x只鸡，则兔子就有(50-x)只，依题意，得2x+4(50-x)= 140从而可解得，x=30，50-x=20，使问题得解.
问题：从上面一元一次方程解法过程中，你能得出二元一次方程组串问题，进一步引导学生找出它的解法) (1)在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？(2)该等量关系中，鸡数与兔子数的表达式分别含有几个未知数？(3)前述方程组中方程②所表示的等量关系与用一元一次方程表示的等量关系是否相同？
(4)能否由方程组中的方程②求解该问题呢？
(5)怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？(以上问题，要求学生独立思考，想出消元的方法)结合学生的回答，教师作出讲解.
由方程①可得y=50-x③，即兔子数y用鸡数x的代数式50-x表示，由于方程②中的y与方程①中的y都表示兔子的只数，故可以把方程②中的y用(50-x)来代换，即把方程③代入方程②中，得2x+4(50-x)=140，解得x=30.
将x=30代入方程③，得y=20.
即鸡有30只，兔有20只.
本节课，我们来学习二元一次方程组的解法.
二、讲授新课例1解方程组
分析：若此方程组有解，则这两个方程中同一个未知数就应取相同的值.因此，方程②中的y就可用方程①中的.表示y的代数式来代替.解：把①代入②，得3x+2(1-x)=5，3x+2-2x=5，所以x=3.把x=3代入①，得y=-2.
(本题应以教师讲解为主，并板书，同时教师在最后应提醒学生，与解一元一次方程一样，要判断运算的结果是否正确，需检验.其方法是将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等.检验可以口算，也可以在草稿纸上验算)教师讲解完例1后，结合板书，就本题解法及步骤提出以下问题：1.方程①代入哪一个方程？其目的是什么？2.为什么能代入？
3.只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
4.把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？在学生回答完上述问题的基础上，教师指出：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法.例2解方程组
分析：例1是用y=1-x直接代入②的例2的两个方程都不具备这样的条件(即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数)，所以不能直接代入.为此，我们需要想办法创造条件，把一个方程变形为用含x的代数式表示y(或含y的代数式表示x).那么选用哪个方程变形较简便呢？通过观察，发现方程②中x的系数为1，因此，可先将方程②变形，用含有y的代数式表示x，再代入方程①求解.解：由②，得x=8-3y，③把③代入①，得(问：能否代入②中？)
2(8-3y)+5y=-21，-y=-37，所以y=37.
(问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？)把y=37代入③，得x= 8-3×37，所以x=-103.
(本题可由一名学生口述，教师板书完成)
三、课堂练习(投影)用代入法解下列方程组：
四、师生共同小结
在与学生共同回顾了本节课所学内容的基础上，教师着重指出，因为方程组在有解的前提下，两个方程中同一个未知数所表示的是同一个数值，故可以用它的等量代换，即使“代入”成为可能.而代入的目的就是为了消元，使二元方程转化为一元方程，从而使问题最终得到解决.
五、作业
用代入法解下列方程组：
5.x+3y=3x+2y=7.
二元一次方程与一次函数教案 12
一、素质教育目标
（一）知识教学点
会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查所得结果是否正确、合理.
（二）能力训练点
培养学生分析问题、解决问题的能力.
（三）德育渗透点
1.进一步渗透化未知为已知的思想.
2.通过应用题的内容，进行理论联系实际的教育.
（四）美育渗透点
学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：观察法、谈话法、尝试指导法.
2.学生学法：通过行程问题中的三个量路程、速度、时间结合题意得出两个正确的相等关系是关键，通过反复训练并思考总结出一般性、规律性的知识.
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点难点
根据简单应用题的题意列出二元一次方程组.
（二）疑点
正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程.
（三）解决办法
反复读题、审题，提高分析问题及解决问题的能力.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.复习列二元一次方程组解应用题的一般步骤，让学生在熟练掌握它的基础上研究新的问题.
2.师生共同探究行程问题中三者的关系，并学会如何通过题意以路程、速度、时间作为等量关系来列二元一次方程组.
七、教学步骤
（一）明确目标
本节课主要学习列二元一次方程组解行程问题的应用题.
（二）整体感知
利用路程、速度、时间的三者关系解关于相遇、追及以及顺、逆流航行的应用题，关键在于寻找以路程或时间为主的等量关系.
（三）教学过程
1.复习提问，导入新课
（1）上节课我们学习了二元一次方程组的应用，列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？
（2）列方程组解应用题的关键是哪两步？
学生活动：回答老师提出的问题.
这节课，我们接着学习列二元一次方程组解应用题.
2.探索新知，讲授新课
例3甲、乙二人相距6㎞，二人同时出发，同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，二人的平均速度各是多少？
提问：（1）题中有几个未知数？分别是什么？
（2）题中的两个相等关系分别是什么？
学生活动：观察、分析后回答.
未知数：甲、乙各自的`平均速度
相等关系：
（1）同向而行：甲的行程＝乙的行程＋6㎞
（2）相向而行：甲行程＋乙行程＝6㎞
学生活动：设未知数，根据相等关系列出方程组.
解：设甲的平均速度是每小时行㎞，乙的平均速度是每小时行㎞，根据题意，得
解这个方程组，得
答：平均第小时甲行4㎞，乙行2㎞.
注意：检验.
反馈练习：P37 1，2.
例4甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用3小时45分，求船在静水中的航速及水流速度.
分析：复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系.
顺流航行的船速＝在静水中的船速度＋水流速度
逆流航行的船速＝在静水中的船速度－水流速度
师生共同分析两个相等关系：
（1）顺流航行的速度×3＝60千米
（2）逆流航行的速度×＝60千米
解：设船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时.
由题意得
答：略.
练习：P48 7.
例5某市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口.
提问：（1）题中的两个未知数分别是什么？
（2）题中的相等关系是什么？
学生活动：回答老师提出的问题.
教师根据学生回答板书.
未知数：城镇人口与农村人口
相等关系：
（1）城镇人口＋农村人口＝总人口
（2）城镇人口增加数＋农村人口增加数＝总人口增加数
学生活动：根据分析设未知数、列方程组，一个学生板演.
解：设城镇人口是万，农村人口是万，得
解这个方程组，得
答：城镇人口是14万，农村人口是28万.
注意：②式中的42也可以写成（）.
【教法说明】例3、例4采用了与例1相同的分析方法，这样分析，可以使学生学会列方程组解应用题的分析方法.如果学生的基础较好，也可以采用拟题训练法让学生分析，培养学生的自学能力.
二元一次方程与一次函数教案 13
一、教材的地位与作用
在人教版教材的七至九年级的数学教材中，对方程进行知识性重点学的地方先后出现3次：七年级上册第二章(一元一次方程)，七年级下册第八章(二元一次方程组)，九年级上册第二十二章(一元二次方程)。所以二元一次方程组这章正处在对前面学习过的一元一次方程的有关知识起着检查巩固的，又为以后方程的学习进一步打下基础 的作用。
二元一次方程组的知识对学生以后学习一次函数，将来对有关线性方程的学习和研究都是一个中重要的入门基础。方程组是解决含有多个未知数问题的重要的数学工具，很多实际问题的解决都是用方程(组)这种数学模型来解决的，通过二元一次方程组的学习培养学生数学建模的数学思想和数学方法，为将来他们从事现实问题的线性分析和研究有着启蒙和激发效果。
二、教学目标
1、 知识技能：能根据实际问题列出二元一次方程(组)，了解二元一次方程(组)的含义，理解二元一次方程(组)的解的含义，会求待定条件下的二元一次方程(组)的解，并会检验给定的一对未知数的值是否是二元一次方程(组)的解。
2、 数学思考：在根据实际情况列二元一次方程(组)解决实际问题的`过程中体会到数学建模的思想，培养学生分析问题的数学意识。
3、解决问题：能根据问题中的未知数的个数列出相应的二元一次方程(组)
4、情感体验：
①在列方程组-表示和解决实际问题的过程中，体验到数学的实用性，提高学习数学的兴趣。
②在探讨解决问题的过程中，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与
他人交流。
三、教学重点、难点
重点：能用二元一次方程(组)来表示一些实际问题的数量关系，弄清二元一次方程(组)及它们解的含义。
难点：能针对具体问题列出二元一次方程(组)，对二元一次方程(组)的解的探求。
四、教法
(1)启发式教学
(老师耐心引导、分析、讲解和设置启发式提问，引导学生对本节知识的理解和掌握)
(2)学案式教学
(让学生自己阅读，自主讨论，探索研究获得知识，得出结论)
五、 学法
在老师的引导下，充分发挥学生的主观能动性，通过观察、讨论、分析、探索等步骤，自己发现问题提出问题，解决问题，能师生互动、生生互动，提高学生的合作意识，共同来完成教学目标。
六、 教学过程
(一)复述回顾:以二人小组完成学案上的3个问题;
(二)创设情境――引入课题
鸡兔同笼
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何?
让学生用一元一次方程解决问题
设一个未知数列一元一次方程来解就会出现方程： 2x+4(35-x)=94(设鸡x只)①
4x+2(35-x)=94(设兔x只)②
让学生设俩未知数来解，估计大部分同学列不出来，那么无论列出与否，引出正题--二元一次方程组 。
(三)设问导读与自我检测
同学们自己阅读课本，并完成设问导读与自我检测的问题，完成之后，小组讨论，与组长核对答案，先组内解决疑难问题，教师下去收集问题，并指导、生对新知识的探究。
1.对鸡兔同笼问题列方程，设鸡x只，兔y只，X+y=35③2x+4y=94④
先引导学生观察方程③、④有什么特点。这样的方程叫什么方程?(试着让学生说出二元一次方程的定义)举例说明需要注意的地方，和一些难以分辨的方程，马上做自我检测第一题，发现问题解决问题。
2.前面的问题同事满足③、④，把他们和在一起就组成二元一次方程组，试着让学生说出定义，做自我检测第三题，说明第四个也是二元一次方程组。
二元一次方程与一次函数教案 14
学习目标 ：
会运用代入消元法解二元一次方程组.
学习重难点：
1、会用代入法解二元一次方程组。
2、灵活运用代入法的技巧.
学习过程：
一、基本概念
1、二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做____________。
2、把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的`式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做________，简称_____。
3、代入消元法的步骤：
二、自学、合作、探究
1、将方程5x-6y=12变形：若用y的式子表示x，则x=______，当y=-2时，x=_______;若用含x的式子表示y，则y=______，当x=0时，y=________ 。
2、在方程2x+6y-5=0中，当3y=-4时，2x= ____________。
3、若 的解，则a=______，b=_______。
4、若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解，则x=____，y=____。
5、用代人法解方程组 ①②，把____代人____，可以消去未知数______。
6、已知方程组 的解也是方程组 的解，则a=_______，b=________ ，3a+2b=___________。
7、已知x=1和x=2都满足关于x的方程x2+px+q=0，则p=_____，q=________ 。
8、当k=______时，方程组 的解中x与y的值相等。
9、用代入法解下列方程组:
⑴ ⑵ ⑶
二、训练
1、方程组 的解是( )
A. B. C. D.
2、已知二元一次方程3x+4y=6，当x、y互为相反数时，x=_____，y=______;当x、y相等时，x=______，y= _______ 。
3、若2ay+5b3x与-4a2xb2-4y是同类项，则a=______，b=_______。
4、对于关于x、y的方程y=kx+b，k比b大1，且当x= 时，y= ，则k、b的值分别是( )
A. B.2，1 C.-2，1 D.-1，0
5、用代入法解下列方程组
⑴ ⑵
6、如果(5a-7b+3)2+ =0，求a与b的值。
7、已知2x2m-3n-7-3ym+3n+6=8是关于x，y的二元一次方程，求n2m
8、若方程组 与 有公共的解，求a，b.
二元一次方程与一次函数教案 15
教学目标
1.会列二元一次方程组解简单的应用题并能检验结果的合理性。
2.提高分析问题、解决问题的.能力。
3.体会数学的应用价值。
教学重点
根据实际问题列二元一次方程组。
教学难点
1.找实际问题中的相等关系。
2.彻底理解题意。
教学过程
一、引入。
本节课我们继续学习用二元一次方程组解决简单实际问题。
二、新课。
例1. 小琴去县城，要经过外祖母家，头一天下午从她家走到个祖母家里，第二天上午，从外外祖母家出发匀速前进，走了2小时、5小时后，离她自己家分别为13千米、25千米。你能算出她的速度吗？还能算出她家与外祖母家相距多远吗？
探究： 1. 你能画线段表示本题的数量关系吗？
2.填空：（用含S、V的代数式表示）
设小琴速度是V千米/时，她家与外祖母家相距S千米，第二天她走2小时趟的路程是______千米。此时她离家距离是______千米；她走5小时走的路程是______千米，此时她离家的距离是________千米2017年-2017学年七年级数学下册全册教案（人教版）教案。
3.列方程组。
4.解方程组。
5.检验写出答案。
讨论：本题是否还有其它解法？
三、练习。
1.建立方程模型。
（1）两在相距280千米，一般顺流航行需14小时，逆流航行需20小时，求船在静水中速度，水流的速度
（2）420个零件由甲、乙两人制造。甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。问：甲、乙每天各做多少个零件？
2.P38练习第2题。
3.小组合作编应用题：两个写一方程组，另两人根据方程组编应用题。
四、小结。
本节课你有何收获？
二元一次方程与一次函数教案 16
教学目标
1、进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型;
2、会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组;
3、培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值.
教学难点
借助列表分问题中所蕴含的数量关系。
知识重点
用列表的方式分析题目中的各个量的关系。
教学过程
(师生活动)设计理念
创设情境最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案.
电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元;低谷电价为每千瓦时。.28元.八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗?
学生独立思考，容易解答.以一道生活热点问题引入，具有现实意义.激发学生学习兴趣，同时培养学生节约、合理用电的意识.
理解题意是关健.通过该题，旨在培养学生的读题能力和收集信息能力.
探索分析
解决问题(出示例题)如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.公路运价为1.5元(吨·千米)，铁路运价为1.2元(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
(图见教材115页，图8.3-2)
学生自主探索、合作交流.
设问1.如何设未知数?
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关.因此设产品重x吨，原料重y吨.
设问2.如何确定题中数量关系?
列表分析
产品x吨
原料y吨
合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
由上表可列方程组
解这个方程组，得
因为毛利润-销售款-原料费-运输费
所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元.
引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的
学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系。本例所涉及的数据较多，数量关系较为复杂，具有一定挑战性，能激发学生探索的热情.
通过讨论让学生认识到合理设定未知数的.愈义.
借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系，不失为一种好方法.
课堂练习
反馈调控某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元;经粗加工后销售，每吨利润增为4500元;经精加工后销售，每吨利润可达7500元。一食品公司
购到这种水果140吨，准备加工后上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案：
方案一：将这批水果全部进行粗加工;
方案二：尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售;
方案三：将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
学生合作讨论完成
选择经济领城问题让学生展开讨论，增强市场经济意识和决策能力，同时巩固二元一次方程组的应用.
小结与作业
小结提高1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设定未知数，可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?
2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基本过程.
学生思考、讨论、整理.
这是第一次比较完整地用框图反映实际问题与二元一次方程组的关系.
让学生结合自己的解题过
程概括整理，帮助理解，培养模
型化的思想和应用数学于现实
生活的意识.
布置作业16、必做题：教科书116页习题8.3第2、6题。
17、选做题：教科书117页习题8.3第9题。
18、备19、选题：
(1)一批蔬菜要运往某批发市场，菜农准备租用汽车公司的甲、乙两种货车.已知过去两次租用这两种货车的记录如下表所示.
甲种货车(辆)乙种货车(辆)总量(吨)
第1次
4528.5
第2次
3627
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每吨付20元运费，问：菜农应付运费多少元?
(2)某学校现有学生数1290人，与去年相比，男生增加20%，女生减少10%，学生总数增加7.5%，问现在学校中男、女生各是多少?
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
本课探究的问题信息量大，数量关系复杂，未知数不容易设定，对学生来说是一种挑战，因此安排学生合作学习.学生先独立思考，自主探索，然后在小组讨论中合理设定未知数，借助表格分析题中的数量关系，列出方程组求得问题的解.在本节的小结中，让学生结合自己的解题过程概括整理实际问题与二元一次方程组的关系，并比较完整地用框图反映，培养模型化的思想.
同时本节向学生提供了社会热点问题、经济问题等现实、具有挑战性的、富有数学意义的学习素材，让学生展开数学探究，合作交流，树立数学服务于生活、应用于生活的意识.
二元一次方程与一次函数教案 17
教学目标
1.会用加减法解一般地二元一次方程组。
2.进一步理解解方程组的消元思想，渗透转化思想。
3.增强克服困难的勇力，提高学习兴趣。
教学重点
把方程组变形后用加减法消元。
教学难点
根据方程组特点对方程组变形。
教学过程
一、复习引入
用加减消元法解方程组。
二、新课。
1.思考如何解方程组（用加减法）。
先观察方程组中每个方程x的系数，y的系数，是否有一个相等。或互为相反数？
能否通过变形化成某个未知数的系数相等，或互为相反数？怎样变形。
学生解方程组。
2.例1.解方程组
思考：能否使两个方程中x（或y）的'系数相等（或互为相反数）呢？
学生讨论，小组合作解方程组。
提问：用加减消元法解方程组有哪些基本步骤？
三、练习。
1.P40练习题（3）、（5）、（6）。
2.分别用加减法，代入法解方程组。
四、小结。
解二元一次方程组的加减法，代入法有何异同？
五、作业。
P33.习题2.2A组第2题（3）~（6）。
B组第1题。
选作：阅读信息时代小窗口，高斯消去法。
后记：
2.3二元一次方程组的应用（1）
二元一次方程与一次函数教案 18
一.教学目标：
1.认知目标：
1）了解二元一次方程组的概念。
2）理解二元一次方程组的解的概念。
3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。
2.能力目标：
1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。
2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。
3.情感目标：
1）培养学生细致，认真的学习习惯。
2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。
二.教学重难点
重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。
难点：把一个二元一次方程形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。
三.教学过程
(一)创设情景，引入课题
1.本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？
（1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)
（2）这是什么方程？根据什么？
2.男生比女生多了2人。设男生x人，女生y人.方程如何表示？ x，y的值是多少？
3.本班男生比女生多2人且男女生共40人.设该班男生x人，女生y人。方程如何表示?
两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？
像这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。
4.点明课题:二元一次方程组。
（设计意图：从学生身边取数据，让他们感受到生活中处处有数学）
（二）探究新知，练习巩固
1.二元一次方程组的概念
（1）请同学们看课本，了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。
[让学生看书，引起他们对教材重视。找关键词，加深他们对概念的了解.]
（2）练习：判断下列是不是二元一次方程组，学生作出判断并要说明理由。
①x2+y=0 ②y=2x+4 ③y+?x ④x=2/y+1 ⑤(x+y)/3-2=0
(设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数的思考”，进而完善血生对二元一次方程概念的理解。）
2.二元一次方程组的解的概念
（1）由学生给出引例的答案，教师指出这就是此方程组的解。
（2）练习：把下列各组数的题序填入图中适当的位置：
方程x+y=0的.解，方程2x+3y=2的解，方程组的解。
（3）既满足第一个方程也满足第二个方程的解叫作二元一次方程组的解。
（4）练习：已知是方程组的解，求a，b的值。
（三）合作探索，尝试求解
现在我们一起来探索如何寻找方程组的解呢？
1.已知两个整数x，y，试找出方程组的解.
学生两人一小组合作探索。并让已经找出方程组解的学生利用实物投影，讲明自己的解题思路。
一般思路：由一个方程取适当的xy的值，代到另一个方程尝试.
（设计意图：把课堂还给学生，让他们探索并解答问题，在获取新知识的同时也积累数学活动的经验）
2.据了解，某商店出售两种不同星号的“红双喜”牌乒乓球。其中“红双喜”二星乒乓球每盒6只，三星乒乓球每盒3只。某同学一共买了4盒，刚好有15个球。
(1) 设该同学“红双喜”二星乒乓球买了x盒，三星乒乓球买了y盒，请根据问题中的条件列出关于x、y的方程组。
(2)用列表尝试的方法解出这个方程组的解。
由学生独立完成，并分析讲解。
3.例 已知方程3X+2Y=10
⑴当X=2时，求所对应的Y 的值；
⑵取一个你自己喜欢的数作为X的值，求所对应的Y的值；
⑶用含X的代数式表示Y;
⑷用含Y 的代数式表示X;
⑸当X=-2，0 时，所对应的Y值是多少；
（设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程。）
(四)课堂小结，布置作业
1.这节课学哪些知识和方法?
2.你还有什么问题或想法需要和大家交流?
3.教材P82
教学设计说明：
1.本课设计主线有两条。其一是知识线，内容从二元一次方程组的概念到二元一次方程组解的概念再到列表尝试法，环环相扣，层层递进；第二是能力培养线，学生从看书理解二元一次方程组的概念到学会归纳解的概念，再到自主探索，用列表尝试法解题，循序渐进，逐步提高。
2.“让学生成为课堂的真正主体”是本课设计的主要理念。由学生给出数据，得出结果，再让他们在积极尝试后进行讲解，实现生生互评。把课堂的一切交给学生，相信他们能在已有的知识上进一步学习提高，教师只是点播和引导者。
3.本课在设计时对教材也进行了适当改动。例题方面考虑到数码时代，学生对胶卷已渐失兴趣，所以改为学生比较熟悉的乒乓球为体裁。另一方面，充分挖掘练习的作用，为知识的落实打下轧实的基础，为学生今后的进一步学习做好铺垫。
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